★四十一，溶液交换浓度相等问题
设两个溶液的浓度分别为A%，B%，并且 A>B，设需要交换溶液为X 则有：(B-X)：X=X：(A-X) A：B=(A-X)：X
典型例题：两瓶浓度不同的盐水混合液，60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换( )克的溶液？
A、36 B、32 C、28 D、24
【解析】答案选D，我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看60%的溶液 相对于交换过来的a克40%的溶液 可以采用十字交叉法来得出一个等式 即(再设混和后的标准浓度是p) 40-a ：a=(P-40% ) ：(60%-P) 同理我们对40%的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式： 60-a ：a=(60%-P) ：(P-40%) 一目了然，两者实际上是反比，即40-a ：a=a ：60-a 解得 a=24 即选D 如果你对十字交叉法的原理理解的话，那么这个题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。
解法二： 干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法 ，60跟40的溶液混合比例 其实跟交换的x克60%溶液与剩下60-x克40%的溶液比例成反比，则60：40=60-x：x解 X=24克
四十二，木桶原理
一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要( )天? A、2.5 B、3 C、4.5 D、6
【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。 “木桶效应”概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的那块木板。 这个题目我们看，该项工作平均分配给了每个小组，则每个小组完成1/6的工作量。他们的效率不同，整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了，其它小组早就完成了。18天的那个小组是最慢的，所以完成1/6需要3小时，选B。
例题：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要( )天? A、4 B、 5 C、6 D、7
【解析】 题目还是“木桶效应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根据合做的情况 并且最后问的也是合作的情况。我们不妨将其平均化处理。也就是说，两个人的平均效率是16天。那么这里效率最差的是18天。大家都是18天 则4人合作需要18÷4=4.5天。可见最差也不会超过4.5天，看选项只有A满足。
四十三，坏钟表行走时间判定问题
一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上9：00 请问钟表在何时被调整为标准时间?
A、10：30 B、11：00 C、12：00 D、1：30
【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则1个小时快60×6=360秒即6分钟。当9：00的时候 说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即 分针快了10.5×6=63分钟。则分针应该在33分上。错误! 同理看B选项 相差10个小时 即10×6=60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。
四十四，双线头法则问题
设做题的数量为S，做对一道得X分，做错一道扣Y分，不答不得分， 竞赛的成绩可能值为N，令T=(X+Y)/Y 则N={[1+(1+S)]*(1+S)}/2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}/2 某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是每一题答对得4分，答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少?
A、28 B、30 C、32 D、36
【解析】该题是双线段法则问题【(1+11)×11÷2 】-【(1+8)×8÷2】=30 所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是(N-1)×N÷2，我看这个题目。我们按照错误题目罗列大家就会很清楚了 答对题目数 可能得分
10 40 9 36，34 8 32，30，28 7 28，26，24，22 6 24，22，20，18，16 5 20，18，16，14，12，10 4 16，14，12，10， 8， 6，4 3 12，10， 8， 6， 4， 2，0， -2 2 8， 6， 4， 2， 0，-2，-4，-6，-8 1 4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14， 0 0，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，-16，-18，-20
这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第7开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。
回归倒我一看的题目 大家可能要问，后面【】里面的8从什么地方来的? 这就是确定重复位置在哪里的问题。 (得分分值+扣分分值)÷扣分分值=3 即当错3题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。10-3=7 就是说 从0～8之间有多少个间隔就有多少个重复组合。
四十五，两人同向一人逆相遇问题
典型例题：在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间?
A 8:55 B 9:00 C9:05 D 9:10
公式总结;设同向的速度分别为A B 逆向的为C 时间为T，T=A+[(A-B)/2+C]*T=S
四十六，往返行程问题的整体求解法
首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。
我们可以假设停留的时间没有停留，把他计入两者的总路程中 化静为动巧求答
例题：
1．慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时?
解法：根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0.5+40×1=1270(千米)，故此期间所经时间为1270÷(60+40)=12.7(小时)
2.两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米?
解法：根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇(乙未到西镇，无返回现象)，故两人所行路程总和为(90×2=)180(千米)，但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步(如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时)，这样两人所行总路程应为： 90×2+30=210(千米)，又因两人速度和为30+10=40(千米)，故可求得相遇时间为：(210÷40=)5.25(小时)，则乙行了(10×5.25=)52.5(千米)。
3.乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离?
解法一 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程： 所以东西两镇相距45千米。
解法二 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走(20×3=)60(千米)，第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为(20×3-15=)45(千米)
四十七，行船问题快解
例题：一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米?A.72 B.60 C.55 D.48
解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2 (12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55
四十八，N条线组成三角形的个数
n条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)=F(n-1)+ F(n-2) 如 f(11)=19 四十七，边长为ABC的小立方体个数 边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc-(a-2)(b-2)(c-2) 大正方体总共有8*8*8个边长为1的小正方体，现在大立方体表面涂漆，要算出有多少被涂漆，只要先算出有多少是隐蔽在内部的小正方体就行了。
来，我们见过魔方，有直观印象，就从3*3开始分析起： 3*3 共3*3*3=27个
露在外面=2*（9+1*3+1*1）=26个
隐蔽=27-26=1个 4*4 共4*4*4=64个
露在外面=2*（16+2*4+2*2）=56个
隐蔽=64-56=8个 5*5 共5*5*5=125个
露在外面=2*（25+3*5+3*3）=98个
隐蔽=125-98=27个 6*6 共6*6*6=216个
露在外面=2*（36+4*6+4*4）=152个
隐蔽=216-152=64个 ......
好了,隐蔽的个数规律出来了,不用再这样一一计算了.
1=1*1*1=1^3
8=2*2*2=2^3
27=3*3*3=3^3
64=4*4*4=4^3 ......
7*7 共7*7*7=343个
隐蔽的是5*5*5=5^3=125个
8* 8共8*8*8=512个
隐蔽的是6*6*6=6^3=216个 所以一共有512-216=296个小立方体被涂上颜色。
四十九，测井深问题
用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米;把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。那么，绳子长多少米?
解答：(2*9-3*2)/(3-2)=12 (折数*余数-折数*余数)/折数差=高度 绳长=(高度+余数)*折数=(12+9)*2=42
五十，分配对象问题
(盈+亏)/分配差 =分配对象数 有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝?( )
A.16 B.22 C.42 D.48
解析：A，(10+6)/(3-2)=16 若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有( )位同学 A.17 B.19 C.26 D.41
解析：D，(5+4)/(5-4)=9 ，4*9+5=41
