三十一，十字相乘法 

十字相乘法使用时要注意几点：        

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。  

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。       

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。       

(2007年省考) 某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：  

A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分

答案：A        分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。   男生：Y 9   75        女生：X 5        根据十字相乘

法原理可以知道   X=84  

. (2007年省考).某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有： 

 A .3920 人 B .4410 人 C .4900人 D .5490 人  

答案：C   分析：去年毕业生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

本科生：-2% 8%   2%        研究生：10% 4%       

本科生：研究生=8%：4%=2：1。7500*(2/3)=5000 ，5000*0.98=4900       

此方法考试的时候一定要灵活运用  

三十二，兔子问题 

 An=A(n-1)An(n-2)       

已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子?

 解析：  1月:1对幼兔   2月:1对成兔        3月;1对成兔.1对幼兔   4;2对成兔.1对幼兔   5;;3对成兔.2对幼兔   6;5对成兔.3对幼兔.......       

可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项   为:13,21,34,55,89,144，

答:有144只兔  

三十三，称重量砝码最少的问题       

例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少?       

析解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。  

(1)称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。  

(2)称重2克，有3种方案：

①增加一个1克的砝码;  

②用一个2克的砝码;

③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。  

(3)称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。  

(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。 (5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用        9-(3+1)=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为   14+13=27(克)，可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。       

总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。  

三十四，文示图       

红圈： 球赛。 蓝圈： 电影 绿圈：戏剧。       

X表示只喜欢球赛的人; Y表示只喜欢电影的人; Z表示只喜欢戏剧的人  

a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧  

b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛  

c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项 不喜欢电影。  

中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T表示。       

回顾上面的7个部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互独立。互不重复的部分  

现在开始对这些部分规类。       

X+y+z=是只喜欢一项的人 我们叫做 A  

a+b+c=是只喜欢2项的人 我们叫做B  

T 就是我们所说的三项都喜欢的人       

x+a+c+T=是喜欢球赛的人数 构成一个红圈  

y+a+b+T=是喜欢电影的人数 构成一个蓝圈  

z+b+c+T=是喜欢戏剧的人数 构成一个绿圈   三个公式。       

(1) A+B+T=总人数        (2) A+2B+3T=至少喜欢1个的人数和   (3) B+3T=至少喜欢2个的人数和       

例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人，三种都喜欢的有12人。  

通过这个题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。       

A+B+T=100 A+2B+3T=148 T=12       

则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的   A=64 B=24       

典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多( )题?       

A、6 B、5 C、4 D、3       

【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的   我们设a表示简单题目， b表示中档题目 c表示难题  

a+b+c=20

c+2b+3a=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的  

将a+b+c=20变成 2a+2b+2c=40 减去 上面的第2个式子  

得到： c-a=4 答案出来了       

可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当完全了解熟练运用a+2b+3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。  

三十五，九宫图问题  

此公式只限于奇数行列       

步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写!  

步骤2： 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，最左边的放到最右边，最右边的放到最左边   最上边的放到最下边，最下边的放到最上边   这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了 。

★三十六，用比例法解行程问题       

行程问题一直是省家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。       

在细说之前我们先来了解如下几个关系：  

路程为S。速度为V 时间为T   S=VT V=S/T T=S/V       

S相同的情况下： V跟T成反比   V相同的情况下： S跟T成正比  

T相同的情况下： S跟V成正比        注：比例点数差也是实际差值对应的比例! 理解基本概念后，具体题目来分析 

例一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时相对行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少?

分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：       

乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过4次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。  

第一次相遇情况   A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

B(乙)   AC即为第一次相遇，甲行驶的路程。 BC即为乙行驶的路程 

则看出 AC+BC=AB 两者行驶路程之和=S   第2次相遇的情况   A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B       

在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C-B-D，其路程是 BC+BD       

乙行驶的路线则是C-A-D 其行驶的路程是AC+AD       

可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S ，同理第3，4次相遇都是这样。则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都是2S。总路程是2×3S+S=7S  

根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200=1400  

因为甲比乙多行驶了280千米则可以得到乙是(1400-280)÷2=560 则甲是560+280=840   好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为

两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间即 840÷60=14小时。       

所以T乙=14小时。 那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40  

说道这里我需要强调的是，在行程问题中，也可以通过比例来迅速解答题目。  

比例求解法：        我们假设乙的速度是V 则根据时间相同，路程比等于速度比，S甲：S乙=V甲：V乙 衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙)  得出 1400：280=(60+V)：(60-V)解得 V=40 我的思路：（1400+280）÷2=840，（1400-280）÷2=560，                     

840:560=60：X，X=40       

例二、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米?   A. 1250 B.940 C. 760 D. 1310       

【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等   160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方 N代表了次数 解得N=3 说明第三次相遇即达到速度相等

第一次相遇前： 开始时速度是160：20=8：1 用时都一样，则路程之比=速度之比  

我们设乙行驶了a千米 则 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30       

第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用时都一样， 则路程之比=速度之比       

我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了b千米 则 (b+210 ) ： b = 4：1 解得 a=70  

第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用时都一样， 则路程之比=速度之比       

我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米 则 (c+210 ) ： c = 2：1 解得 c=210  

则三次乙行驶了 210+70+30=310千米  

而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3+310=940  

则 两人总和是 940+310=1250  

例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远?       

【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的 ，则根据路程相同       

速度比等于时间比的反比  

即 T30：T40=40：30=4：3       

所以30千米行驶的最后部分是用了 1/6×(4-3)×4=2/3小时

即路程是30×2/3=20千米   总路程是(20+5)÷1/4=100       

例四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?   A. 14 B.16 C.112 D.124       

【解析】 甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙速度之比=5：4       

而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙=7：9       

所以，我们来看 相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9=35：36  

说明，乙比甲多出1个比例单位       

现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7=28个单位 ，事实上乙每4浆才能追上36-35=1个单位，   说明28个单位需要28×4=112浆次追上! 选C。

例五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9,问甲队原来多少人? 

这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法 

【解析】 根据条件乙队比甲队多了2/9 我们假设甲队是单位1，则乙队就是1+2/9=11/9 ，100人的总数不变 

可见 甲乙总数是1+11/9=20/9 (分母不看)       

则100人被分成20分 即甲是100÷20×9=45 乙是 55 

因为从甲队掉走1/4 则剩下的是3/4 算出原来甲队是 45÷3/4=60       

★三十七，计算错对题的独特技巧 

例题：某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，做错一道题倒扣2分，小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题( ) 

A 28       B 27       C 26       D 25 

答案：D 

我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是6+4=10，       

解释一下6跟4的来源， 

 6是做错了，不但得不到4分，还被倒扣2分 这样里外就差4+2=6分，  

 4是不答题，只被扣4分，不倒扣分，这两种扣分的情况看作一组，目前被扣了30×4-96=24分，       

则说明 24÷10=2组，余数是4，这表明2组还多出1个没有答的题目，       

则表明，不答的题目是2+1=3题，答错的是2题       

三十八，票价与票值的区别 

票价是P( 2，M) 是排列 票值是C(2，M)       

三十九，两数之间个位和十位相同的个数 

1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的数? 

从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差11       

方法一：看整数部分1217～2792 

先看1220～2790 相差1570 则有这样规律的数是1570÷10=157个       

由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路       

方法二：我们先求两数差值 2792-1217=1575       1575中有多少11呢 1575÷11=143 余数是2 

我们还得对结果再次除以11 直到所得的商小于11为止       

商+余数再除以11       (143+2)÷11=13 余数是2       (13+2)÷11=1 因为商已经小于11，所以余数不管       

则我们就可以得到个数应该是143+13+1=157 

不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。 误差应该会在1之间!不过对于考公务员来说 误差为1 已经可以找到答案了!  

四十，搁两人握手问题 

  某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有( )人       A、16 B、17 C、18 D、19 

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了x×(x-3)次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际握手次数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人